Об авторе

Я, учитель математики, интересуюсь математикой, компьютерами, заработками в интернете. Пишите в комментариях, на какую тему хотели увидеть следующий материал. Надеюсь на позитив!

Нижняя и верхняя интегральные суммы и интеграл на GeoGebra

Здравствуйте, мой дорогой читатель. Сегодня, предлагаю Вам опять приоткрыть такую интересную часть математического анализа, как интегрирование, но в немного другом свете. С помощью GeoGebra. ИТАК: Нижняя и верхняя интегральные суммы и интеграл на GeoGebra. К самой сути темы, а именно к теоретической  части, предлагаю полистать книжки по математическому анализу. Замечу лишь, что нижняя интегральная сумма получается как сумма прямоугольников, вписанных в интегрируемую область, а верхняя интегральная сумма — сумма описанных прямоугольников.

int1

Кроме того, при увеличении числа прямоугольников, нижняя интегральная сумма только растет, а верхняя интегральная сумма только убывает и если интеграл существует, то предельное значение этих сумм должно равняться значению интеграла.

Давайте проиллюстрируем это на GeoGebra на кубической функции. Открываем GeoGebra и в поле формул пишем y=x³

int2

 

Жмем Enter. Проследите чтобы функция носила имя f (x). (если нет, то в поле формул так и напишите f (x)=x³ )

int3

Теперь, определим ползунок для управления количеством прямоугольников. Нажимаем на ползунок и в появившемся окне проставляем нужные значения. Я взял имя a, мин — 0, макс — 50, шаг — 1. Это значит, что минимум прямоугольников будет 0, а максимум — 50 штук и каждый клик по ползунку будет прибавлять по одному прямоугольнику.

int4

Жмем ОК. Теперь в поле формул набираем Нижняя сумма (на самом деле хватает набрать Ниж) и из предложенных выбираете вторую строку (как у меня на картинке)

int5

Далее, приступаем к заполнению необходимых параметров. Вместо функция с кавычками пишем f, вместо начальное значение с кавычками пишем число 1, а вместо конечное значение с кавычками пишем число 2, потому что, мы хотим проинтегрировать нашу функцию на отрезке от 1 до 2 (в дальнейшем, можете выбрать свои отрезки интегрирования).

int6

Чуть не забыл, вместо число прямоугольников с кавычками пишем имя ползунка, то есть a.

int7

Как у меня на картинке ниже

int8

В панели объектов появилось b=1. Это означает, что в область интегрирования мы вписали один (так как a=1) прямоугольник и его площадь равна b=1.

int9

Кликните по ползунку и он примет значение a=2. Тогда в область интегрирования впишется два прямоугольника и сумма их площадей будет равна b=2,19. 

int10

Для a=3 имеем  b=2,67. Заметили, что сумма постепенно увеличивается?

int11

Теперь, в поле формул наберем Интеграл (когда наберете Инт уже выпадет список)

int12

и выберем третью строку (как у меня).

int13

Заполняем как прежде делали в нижней сумме.

int14

В панели объектов появится c=3,75.  Это значение интеграла. Если вспомнить геометрическое значение определенного интеграла, то можно сказать, что площадь данной криволинейной трапеции равна 3,75.

int15

В панели объектов можно сделать некоторые объекты на картинке видимыми или невидимыми. Видимые объекты имеют закрашенную точку (у меня это синие точки в красном овале)

int16

Если нажать на точку, то точка станет прозрачной, а объект на картинке исчезнет. Например, я нажал на b=2.67 и вписанные прямоугольники исчезли. Осталась только криволинейная трапеция и значение ее площади.

int17

Если нажать на бесцветную точку заново, то объект снова появится и точка окрасится опять.

Вы все еще помните, что мы изучаем? Да. Да. Нижняя и верхняя интегральные суммы и интеграл на GeoGebra. Значит еще и верхняя сумма нужна. Поехалииии! В поле формул пишем Верхняя сумма (как всегда хватает набрать Вер и список не замедлит себя показать).

int18

Выбираем нужную строку и заполняем по аналогии с нижней суммой. Вот так!

int19

Появится еще один объект на панели объектов. Это d=5. Это сумма площадей трех описанных прямоугольников. Для лучшего обозрения, в панели объектов можно отключить остальные объекты и оставить только описанные прямоугольники видимыми. и поиграть с ползунком. и убедиться, что верхние суммы не возрастают при увеличении количества прямоугольников.

int20

Я же, в свою очередь, приведу три значения для иллюстрации. Это a=5.

int21

Это a=25.

int22

Это a=50.

int23

Все мои предложения остались в силе. Нижние суммы не убывали, верхние суммы не возрастали. И обязательно между ними было значение интеграла. Это, пожалуй, все что я хотел сказать про Нижнюю и верхнюю интегральные суммы и интеграл на GeoGebra. Увидимся еще!


Навигация по записям

Предыдущий пост:     ←
Следующий пост:    

Оставить свой комментарий